高等数学

函数

 函数概念

 常见函数

  分段函数

   绝对值函数

   符号函数

    表示符号

     |x|=xsgnx,sgnx为符号函数,即sgnx=|x|/x,x不等于0时,x=0时sgnx=0

   取整函数

    [x]不超过x的最大整数

   狄利克雷函数

    取值区间分别为有理数无理数的那个

  反函数

  复合函数

  基本初等函数

   常函数

   幂函数

   指数函数

   对数函数

   三角函数

   反三角函数

  初等函数

   基本初等函数经过有限次四则运算得出的函数

 几种特性

  有界性

   字面意思

  单调性

   字面意思

    注意是对定义域讨论~,不同定义域可能可以统一,也可能不可以

  奇偶性

   挺重要的

    奇(偶)函数之和仍为奇(偶)函数

    奇(偶)函数之积必为偶函数

    奇函数与偶函数之积必为奇函数

    原函数与其导函数的奇偶性相反,(有奇偶性的话)

    导函数

     导函数为奇函数,原函数为偶函数

     导函数为偶函数,原函数未必为奇函数F(0)=0才行

  周期性

   T

极限

 概念

  左右极限都存在且相等,这个点极限存在

 性质

  有界性

   极限存在,一定有界

    反之不成立,y=sinx,x趋向于无穷时

   数列收敛~~一定有界

    反之不成立,栗子-1的x次方~~

  保号性

   xn中n趋向于无穷

    如果A>0(或A<0),则存在N>0,当n>N时,xn>0(xn<0)

    如果存在N>0,当n>N时,xn>=0(或xn<=0),则A>=0(或A<=0)

   f(x)中x趋向于x0

    x0邻域性质和极限一致~

   (具体表述请看书,这里只是我个人方便记忆而已)

  极限值与无穷小之间的关系

   limf(x) =A <==>f(x) = A +а(x),其中lima(x) = 0

 存在准则

  夹逼准则

  单调有界准则

   单调有界数列必有极限

 无穷小量

  概念

   极限为0,趋向于它的时候叫做无穷小量

  比较

   高阶、低阶、同阶、等价、无穷小的阶

  性质

   有限个无穷小之和仍为无穷小

   有限个无穷小的积仍为无穷小

   无穷小量与有界量之积仍是无穷小

  问题

   无穷小量的比较

    高阶

    同阶

    等价

    低阶

   由无穷小量之间的关系确定极限中的参数问题

   常用方法

    洛必达法则

    等价无穷小代换

    泰勒公式

 无穷大量

  概念

  比较

  无穷大量与无界变量的关系

   无穷大量必为无界变量,无界变量不一定是无穷大量

 求极限常用方法

  函数极限

   有理运算法则

   利用基本极限求极限

   等价无穷小代换

    凑形式

    乘积的转换

   泰勒公式代换

   洛必达

   夹逼

    大小关系变形

    根据中值定理转化再变形

   定积分定义

  数列极限

   转化为函数极限去做

    一般考虑提取1/n

   夹逼 多用于求n项和

   定积分定义求解

    提取因子

    确定被积函数和积分区间

    定积分不太好求的时候还是应该用夹逼

    

   单调有界准则求极限

    一般用于解有递推关系的

   因子变化,使得幂小于1或大于1使得趋向于无穷的时候可以近似

  确定极限求参数常用方法

   洛必达法则

   等价无穷小代换

   泰勒公式

 问题

  极限的几种定义

   ε-N定义

   ε-X定义

   ε-σ定义

  求极限

   函数极限

   数列极限

  确定极限中的参数

连续

 概念

  斜率不会发生突变

   可导必定连续

   连续此时可导

  斜率突变

   连续但不可导

 间断点

  第一类间断点

   性质

    左右极限都存在

   分类

    可去间断点

     左右极限存在且相等,但是这个点取值不同或者取不到

    跳跃间断点

  第二类间断点

   性质

    左右极限至少有一个不存在

   分类

    无穷间断点

     极限不存在的时候为无穷

    振荡间断点

     左右极限都不存在,函数值也在震荡

 性质

  在同一点连续的两个函数经过四则运算还是连续的

  连续的函数在定义域上复合也是连续的

  基本初等函数在其定义域内都是连续的

  初等函数在其定义区间内都是连续的

  有界性定理

   fx在闭区间[a,b]上连续,则fx在[a,b]上必有界

  最值定理

   fx在闭区间[a,b]上连续,则fx在[a,b]上必有最大值和最小值

  介值定理

   fx在[a,b]上连续,存在x值使得fx取到fa与fb之间的任意一个数

   推论

    若fx在[a,b]上连续,可以取到介于最大值和最小值之间的任何值

  零点定理

   介值定理扩展~~~fa*fb<0说明中间有零点

 问题

  讨论函数的连续性

  求已知表达式函数的间断点并判断类型

  求由极限式定义的函数的间断点并判别其类型

微积分

 一元函数

  微分

   导数

    几何意义和物理意义

    可导性与连续性的关系

     可导必定连续

     连续未必可导

    求导

     导数的四则运算

     几种导数

      基本初等函数

      复合函数

      反函数

      隐函数

      参数方程函数

      高阶导数

   微分

    一阶微分形式的不变性

    微分中值定理

     几个定理

      费马定理

       极值点的必要条件

      罗尔定理

       fa=fb时极值存在性定理(我随便描述的

      拉格朗日中值定理

      柯西中值定理

       拉格朗日中值定理在两个函数形式下的扩展

       要求下方的函数导数不为0

      泰勒

       具有拉格朗日余项的泰勒公式

        存在n+1阶导数存在

        Rn(x)=f^(n+1)(ξ) * (x-x0)^(n+1) / (n+1)!

         理解上其实就是fx的n+1阶导数

         通过对fx的n阶导数做拉格朗日中值定理

         得出这个样子,美妙的形式

        可用于区间[a,b]上,证明不等式等式

         因为等于是将无穷小量给它量化了,虽然多了一个ξ取值,但是取值范围是有的

         希望用不到,用到怕是有点骚

         主要还是难度大

       具有皮亚诺余项的泰勒公式

        存在n阶导数

        Rn(x)=o((x-x0)^n)

        仅能用于x0邻域,例如讨论x-->x0时的极限

         就是那种取不到x0的情况

       公式中x0=0则为麦克劳林公式

       其实一般写成高阶无穷小就完事了

     问题

      证明存在一个点x使得F[x,fx,f'x]=0

       构造辅助函数

        x * fx

        x^n * fx

        fx/x

        fx/x^n

        e^ax * fx

        e^x * fx

        e^-x * fx

       构造的辅助函数无外乎这几种,对题目条件结构不影响同时又可以化成一个大函数的导数的形式

      证明存在两个这样的点x,y使得F[x,fx,f'x,y,fy,f'y]=0

      有关泰勒的证明题

       出现二阶及二阶以上导数

      基本定义,考虑最值,再介值定理

    洛必达法则

   函数

    一阶导数

     极值

      函数在某一段区域取最值且左右范围单调性相反(极值点的描述)

     单调性

    二阶导数

     凹凸性

      二阶导数大于0则为凹

       理解可以想象一阶导数变化趋势进而感受原函数变化速率

        数形结合百般好

      原定义看有弧与割线的关系

       割线在上方则凹

       割线在下方则为凸

      二阶导数需要在定义域上有定义

     拐点

      二阶导数为0或者不存在的点处

      二阶导数零点或不存在的点左右取值符号相反(变号)

      对于二阶导数零点也可以简单的用三阶导数来判断,二阶导数零点处三阶导数值不为0即可

      函数凹凸性突变的点(本质上)

    零点问题

     根的存在性

      连续函数的零点定理

      罗尔定理

     根的个数

      函数的单调性

      罗尔定理的推论

       定义区间内fx的n阶导数不为0,则fx上至多有n个根

        即n阶导函数无零点

       定义区间内fx的零点数目为k,则f'x的零点数目至少为k-1,依次类推fx的k-1阶导数至少为1

       推理过程即逆向由一个零点,推出它原函数旁边的两个零点,然后就像是间隔问题一样

    最大值与最小值

   几何应用

    弧微分

     画小三角形算出来的

     x的导数的平方+y的导数的平方两个的根号的积分

    渐近线

     垂直渐近线

      定义域取值

     水平渐近线

      值域取值

     斜渐近线

      x趋于无穷时,斜率a逼近值计算

       正无穷

       负无穷

       两种情况大致是对照存在的,不精确的时候毛估估就好了

      反向代入,原函数fx与ax的差值

      斜率+截距得斜渐近线的方程

    函数图形的描绘*

    曲率的概念

     弯曲的程度

      之后个图上来吧

    曲率圆与曲率半径

   不等式

    这个贯穿始终,很多地方都可以用到,都很有用

    常用思想

     单调性证明不等式

     中值定理

      大大简化运算

       有的时候

      注意适用场景与已知条件

     函数最值

     泰勒公式

     凹凸性

      也可以当成中值定理来看

      不过这个是从图形的性质来考虑的,更加直观

     考虑函数本身的一些性质,能否化简,变形,奇偶性,周期性等

     一些函数隐含的特征,比如正态分布这样子的函数样子,xsin1/x这样的振荡函数等

   问题

    导数

     已知fx在x0处可导,求与fx在x0处导数定义有关的极限

     已知fx在x0处导数定义有关的极限存在,求fx在x0处是否可导

     求导

      复合函数求导

      隐函数求导

      参数方程求导

      高阶导数计算

      分段函数的导数

     几何应用

      切线,法线

      曲率相关

      变化率求导一般就看看关系,对因变量求导,得变化率,一些配凑其实是可以可有可无的

  积分

   不定积分

    分项积分法

    分部积分法

    凑微分法

    换元法

   定积分

    概念

    性质

     和式极限

     不等式性质

      传递

      取值区间在最大最小值与积分范围乘积之间

     积分中值定理

      类比一个曲边梯形转化为一个矩形的计算,以x轴修正

      

       g(x)在积分区间不变号,fx,gx都连续

       就是一点平均值的感觉

      第二定理网上了解一下

       就是扩展到边界的情况,修改乘积区间

       即曲边梯形修正,以y坐标修正

    几何意义

     面积

    计算方式

     牛顿--莱布尼茨公式

     定积分换元法

     定积分的分部积分法

     利用奇偶性,周期性计算定积分

     利用已有公式计算定积分

      sinnx和cosnx那个0~Π/2的积分转化(华里士公式)

       n为偶数

        (n-1)/n * (n-3)/(n-2) * .... * 1/2 * Π/2

       n为奇数

        (n-1)/n * (n-3)/(n-2) * .... * 2/3 * 1

      xf(sinx)的形式,0~Π的积分

       可以将x提取出来成Π/2

       通过令x=Π-u来替换证明,关于三角函数的部分这个思想很多时候都很有用

    证明积分

     等式

      换元法

      分部积分法

      积分中值定理

     不等式

      积分不等的性质

      积分中值定理

      积分上限换为x,转化为证明函数不等式

   变上限积分函数

    连续性

     fx在[a,b]上可积,则F(x)连续

    可导性

     fx连续,则F(x)可导

    奇偶性

     Fx fx奇偶性相反

   反常积分

    分类

     无穷区间

     无界函数

    本质:

     定积分+极限

    主要计算方法

     换元法

     分部积分法

   常用积分的推导记忆

  问题部分顺手写的会考的一些点,必然是不全的,在脑子里就没必要记下来了

 多元函数

  极限

   凑是一个好方法

   一般就第一点了,其他就见招拆招吧

  连续

  偏导数

  全微分

   全微分的不变性

    dxy=dyx

  微分法

  极值与最值

   从多个方向逼近可以验证不是极值点的情况

   凑可以证明是极值点

   极值点可以通过AC-B^2验证

  二重积分

 xsin1/x总是个很好的特例

常微分

 常微分方程

 一阶方程

  线性方程

   常数变易法

   常数变易法推出来的公式

  其他方程

   分离变量

   换元分离变量 y=vx

    齐次方程

 二阶方程

  二阶降一阶

  特征方程

  有余项f(x)

   若 f(x) 形式为f(x) = a + bx,则假设y = v = A + Bx;

   若 f(x) 形式为f(x) = aebx,则假设y = v = Aebx;

   若 f(x) 形式为f(x) = a1 cos bx + a2 sin bx,则假设y = v = A1 cos bx + A2 sin bx.

   有x乘积的话,加上待定系数,原有通解有的部分就不需要加了

 可降阶的高阶微分方程

  不断降阶

  齐次

   特征值解法

  非齐次

   求导变换转化成齐次样式

   结合原式子齐次的解法

   得出特解的形式

   代入原式解

 非线性方程就不要想了..

 微分方程的应用

这是一个不会有什么公式的简略版本,主要用作再次复习的一个简单提纲~

很多东西都可以用ε-б语言表示,这个可以专门看一下hhh