线性代数

行列式

 概念

 性质

 按行列展开的算法

 几个特别的式子

  单位阵

  三角阵

  范德蒙行列式

  分块阵

  等等

 计算

  行列式定义

  行列式性质

  各行(列)加到同一行(列)上去

  拆分法

  递推法

  升阶法

  范德蒙行列式

  数学归纳法

  析因子法

   观察形式

  换元法

   函数的思想

   令bij=aij+x

矩阵

 概念

 特殊矩阵

  单位阵

   E

  数量阵

   kE

  对角阵

  上(下)三角阵

  对称阵

   矩阵和矩阵的转置相等

  反对称矩阵

   矩阵+矩阵的转置等于0矩阵

  正交阵

   矩阵*矩阵的转置等于单位矩阵

   又即转置矩阵与逆矩阵相等

  初等矩阵

   单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵

  对于m*n阶矩阵

   行阶梯矩阵

    若矩阵中有零行,则零行在矩阵的底部

    非零行的主元所在列的下面元素都是0,阶梯状

    主元即行最左边的第一个非0元

   行最简矩阵

    首先是行阶梯矩阵

    其次非零行的主元都是1

    且主元所在列的其他元素都是0

  等价矩阵

   经过有限次初等变换变成的矩阵和原矩阵等价

 线性运算

 乘法

 方阵的幂

 方阵乘积的行列式

 矩阵的转置

 逆矩阵的概念和性质

  运算性质

   (kA)^-1=(1/k)A^-1

   (AB)^-1=B^-1A^-1

   (A^2)^-1=(A^-1)^2

   (A^T)^-1=(A^-1)^T

   |A^-1|=1/|A|

  求法

   伴随矩阵那个公式

   增广矩阵初等变换法

   定义法

   分块矩阵

    将分块矩阵看成大的矩阵对每一块操作

 矩阵可逆的充分必要条件

 伴随矩阵

  原矩阵秩r与伴随矩阵秩r1的关系

   r1=n,r=n

   r1=1,r=n-1

   r1=0,r<n-1

  几个重要公式

   AA*=A*A=|A|E

   (A*)^-1=(A^-1)*=A/|A|

    |A|!=0

   (A*)^T=(A^T)*

   (kA)*=k^(n-1)A*

   |A*|=|A|^n-1

 矩阵的初等变换

 初等矩阵

 矩阵的秩

  公式

   矩阵的秩与矩阵转置的秩相等

   r(AA^T)=r(A)

   r(kA)=r(A)

    k!=0

   r(A+B)<+r(A)+r(B)

   r(AB)<=min(r(A),r(B))

   若A可逆,则r(AB)=r(BA)=r(B)

    分块矩阵AOBO r=r(A)+r(B)

 矩阵的等价

 分块矩阵及其运算

   求A^n的思路

   r=1,A拆成乘积的形式

    A^2=lA,l为A的trace迹

   特殊的二项展开

    (kE+B)^n

   分块矩阵

    分块n方

   特征值、特征向量、相似

   简单试乘之后如有规律,可用归纳法

向量

 向量的概念

 向量的线性组合和线性表示

 向量组的线性相关与线性无关

 向量组的极大线性无关组

 等价向量组

 向量组的秩

 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

 向量的内积 线性无关向量组的的正交规范化方法

  Schmidt正交化

  向量内积

线性方程组

 克莱姆法则

  xi=|Ai|/|A|

 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件

 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构

 齐次线性方程组的基础解系和通解

 非齐次线性方程组的通解

矩阵的特征值和特征向量

 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质

  特征值的性质

   特征值之积为行列式之值

   特征值之和为trace

 相似矩阵的概念及性质

  相似的性质

   反身性

   对称性

   传递性

  相似的必要条件

   特征值都相同

   秩相等

   行列式的值相等

   行列式的迹相等

 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵

  可相似对角化

   n个线性无关的特征向量

  特征值不等

   对应特征向量也不等

  r重特征值对应线性无关的特征向量小于等于r

 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

  存在正交阵使得相似

  实对称矩阵不同特征向量互相正交

二次型

 二次型及其矩阵表示

 合同变换与合同矩阵

  C^TAC=B

   C为可逆阵

   AB则合同

  合同充要条件

   对应二次型的正负惯性指数相等

  合同必要条件

   秩相等

  二次型的秩 惯性定理

  几个名词

   p

    标准形的正平方项的数目

   q

    标准形的负平方项的数目

   p+q=r

   p-q

    符号差

 二次型的标准形和规范形

  标准型

   平方和的形式

  规范型

   标准型

   系数只能是0,1,-1

  用正交变换和配方法化二次型为标准形

  二次型表示成矩阵形式x^TAx

  求A的全部特征值

  求对应的特征向量

  正交化处理

  单位化处理

  构造正交矩阵Q

  令x=Qy

   f=x^TAx=y^TQ^TAQy=y^T⋀y

 二次型及其矩阵的正定性

  矩阵A对应二次型正定的充要条件

   p=r=n

   矩阵A与E合同

   A的全部特征值大于0

   A的全部顺序主子式大于0

   对于任意x不等于0的情况,x^TAx大于0

  必要条件

   对应矩阵主对角线元素均大于0

   对应矩阵的行列式大于0

等价1,以A为例

 行列式|A|为0

 矩阵A不可逆

 秩r(A)小于n

 Ax =0有非零解

 0是矩阵A的特征值

 A的列(行)向量线性相关

等价2,n阶矩阵A可逆

 存在n阶矩阵B使AB=E(或BA=E)

 |A|!=0

 秩r(A)=n

 A的列(行)向量线性无关

 齐次方程组Ax=b总有唯一解

 矩阵A的特征值全不为0

等价3,正定

 x^TAx正定

 A的正惯性指数p=r=n,r为秩,n为未知量个数

 存在可逆矩阵C,C^TAC=E

 A=D^TD,其中D是可逆矩阵

 A的全部特征值λ大于0

 A的全部顺序主子式大于0